Binomialrechner
Gib a, b und n ein, um (ax + b)ⁿ als Polynom in x zu entwickeln.
Binomialentwicklung
Gib die Koeffizienten ein und wähle Berechnen.
- Binom interpretiert
- —
- Ergebnis-Koeffizienten (höchste Potenz zuerst)
- —
Dezimalwerte erscheinen mit höchstens zwei Stellen; kleine Werte ungleich null in wissenschaftlicher Schreibweise. Ganzzahlen müssen exakt darstellbar bleiben.
So wird (ax + b)ⁿ entwickelt
Der Rechner verwendet den endlichen binomischen Lehrsatz für ein lineares Binom in x.
- a als Koeffizient vor x eingeben.
- b als Konstante eingeben; für (2x − 3)⁴ ist b = −3.
- n ganzzahlig von 0 bis 20 eingeben und Berechnen wählen.
- Ausgangsbinom, Entwicklung und Koeffizientenliste prüfen.
Der endliche binomische Lehrsatz
(ax + b)ⁿ ist die Summe C(n,k)(ax)ⁿ⁻ᵏbᵏ für k von 0 bis n. Die x-Potenz sinkt, die b-Potenz steigt.
Der Koeffizient von xⁿ⁻ᵏ lautet C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. Alle n + 1 Positionen werden berechnet.
Beispiele und Vorzeichen
(2x − 3)⁴ = 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81. Ungerade Potenzen des negativen b sind negativ.
(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1. Einsen werden im Polynom abgekürzt, bleiben aber in der Liste.
Nullen und Exponent null
Für n = 0 ist das Ergebnis 1. Bei a = 0 und positivem n bleibt bⁿ; bei b = 0 bleibt aⁿxⁿ.
Nullkoeffizienten verschwinden aus der lesbaren Formel, verschieben aber keine Position in der Liste.
Bereich und Ausschlüsse
n liegt zwischen 0 und 20; a und b sind endlich. Ganzzahlige Koeffizienten müssen exakt darstellbar bleiben.
Negative oder gebrochene Exponenten, mehrere Variablen, allgemeine Ausdrücke, unendliche Reihen, Faktorisierung und Graphen sind ausgeschlossen.
Häufige Fragen
Wie gebe ich (ax − b)ⁿ ein?
b als negative Zahl eingeben.
Wie viele Positionen gibt es?
n + 1, eine für jedes k von 0 bis n.
Was ergibt n = 0?
Das Ergebnis ist 1.
Darf n negativ sein?
Nein, das wäre keine endliche Entwicklung dieser Art.
Warum wird eine große Zahl abgelehnt?
Ein Koeffizient wäre nicht endlich oder nicht mehr exakt.