Bedienung
Löse ein Polynom dritten Grades mit reellen Koeffizienten. Gib a, b, c und d aus ax³ + bx² + cx + d = 0 ein, nachdem alle Terme auf eine Seite gebracht wurden. Prüfe Faktorisierungsaufgaben und erkenne reelle Achsenschnittpunkte. Symbolische Ausdrücke werden nicht ausgewertet.
- Ersetze die Beispielwerte durch eigene Daten. Verwende einen Dezimalpunkt, auch wenn du sonst ein Dezimalkomma benutzt.
- Wähle Berechnen oder drücke Enter. Lies das Ergebnis zusammen mit Diagramm und Detailtabelle.
- Ergebnis kopieren übernimmt bestätigte Zahlen als Text. Bearbeiten entfernt das bisherige Ergebnis und den Kopierstatus, während das Diagramm gültige aktuelle Eingaben zeigt. Leeren entfernt Eingaben, Ergebnisse und Grafik, ohne das Beispiel wiederherzustellen.
Berechnungsmethode
Das Diskriminantenvorzeichen wird aus den Dezimalkoeffizienten ohne Anzeigerundung bestimmt. Positiv bedeutet drei verschiedene reelle Nullstellen, negativ eine reelle und zwei konjugiert komplexe, null wiederholte Nullstellen. Die Vielfachheiten ergeben zusammen drei.
Die numerische Suche skaliert Koeffizienten und verfeinert Intervalle. Wiederholte Nullstellen und das konjugierte Paar werden gesondert bestimmt. Jede Lösung wird eingesetzt. Das relative Residuum teilt den Einsetzfehler durch die Summe der absoluten Termbeträge: eine Konsistenzprüfung, keine garantierte Fehlerschranke der Nullstelle.
Beispiele
1, −6, 11, −6 ergibt (x−1)(x−2)(x−3), also die einfachen Nullstellen 1, 2, 3. Alle drei erscheinen im Graphen. Multiplikation sämtlicher Koeffizienten mit 10⁻¹² ändert die Nullstellen nicht.
1, 0, 0, 1 liefert −1 und 0,5 ± 0,8660254038i. Nur −1 liegt auf der reellen Achse. 1, −3, 3, −1 beschreibt (x−1)³ und liefert 1 mit Vielfachheit 3.
Anwendung und Grenzen
Verwende Dezimalpunkte oder Exponentialschreibweise, bis 15 signifikante Stellen und Exponenten von −24 bis 24. Nichtnullbeträge müssen zwischen 10⁻¹² und 10¹² liegen. Null ist außer für a zulässig. Für a = 0 verwende einen quadratischen oder linearen Gleichungsrechner.
Das automatische Intervall enthält alle reellen Nullstellen. Sehr nahe oder unterschiedlich große Lösungen können optisch zusammengedrückt werden; die Liste bleibt maßgeblich. Komplexe Wurzeln stehen nicht auf der reellen Achse. Numerisch nicht auflösbare Fälle erzeugen einen Fehler. Dies ist kein symbolisches Algebrasystem.
Häufige Fragen
Muss ich fehlende Terme eingeben?
Ja, trage für fehlende x²-, x- oder konstante Terme null ein. Leere Felder zählen nicht als null.
Kreuzt jede wiederholte Nullstelle die Achse?
Gerade Vielfachheit kann die Achse nur berühren; ungerade Vielfachheit kreuzt sie. Lies die angegebene Vielfachheit.
Garantiert ein kleines Residuum alle Stellen?
Nein. Nahe Mehrfachnullstellen können schon kleinste Koeffizientenänderungen die Lösung stark verschieben.
Was wird kopiert?
Koeffizienten, Näherungswerte, Vielfachheiten und relatives Residuum. Keine symbolische Herleitung und kein Bildexport; bewahre die Originalkoeffizienten auf.