So funktioniert die Eingabe
Berechnen Sie den ersten Erfolg bei unabhängigen Versuchen mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit p. Geben Sie p zwischen null und eins ein, etwa 0,25 für 25%, sowie die Versuchsnummer k. Der erfolgreiche Versuch zählt mit: k beginnt bei eins. Wählen Sie genau k, höchstens k oder mehr als k und berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten und Balken.
Wahrscheinlichkeiten verstehen
P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p bedeutet k−1 Misserfolge und danach Erfolg. P(X≤k)=1−(1−p)ᵏ beschreibt mindestens einen Erfolg innerhalb von k Versuchen. P(X>k)=(1−p)ᵏ bedeutet, dass alle ersten k Versuche scheitern. Erwartungswert: 1/p; Varianz: (1−p)/p².
Rechenbeispiele
Bei p=0,25 und k=3 beträgt die Wahrscheinlichkeit für den ersten Erfolg im dritten Versuch 14,06%. Innerhalb von drei Versuchen sind es 57,81%, für mehr als drei 42,19%. Der Erwartungswert ist vier Versuche. Das macht den vierten Versuch nicht zum wahrscheinlichsten ersten Erfolg.
Bei p=0,5 und k=1 sind genau ein Versuch und mehr als ein Versuch jeweils zu 50% möglich. Erwartungswert und Varianz sind zwei. Bei p=1 ist der erste Versuch sicher erfolgreich; ein späterer erster Erfolg hat Wahrscheinlichkeit null.
Anwendungen und Grenzen
Zulässig sind 0,000000001≤p≤1 und ganzzahlige k von 1 bis 1.000.000.000. p=0 ist ausgeschlossen, weil nie ein Erfolg eintritt und der Erwartungswert nicht endlich ist. Dezimalpunkt oder Komma, keine Tausendertrennzeichen. Leere, negative und gebrochene Versuchsnummern erzeugen Fehler. Abhängige Versuche, veränderliches p und Ziehen ohne Zurücklegen benötigen andere Modelle.
Häufige Fragen
Zählt k die Misserfolge?
Nein. Manche Lehrbücher zählen Misserfolge vor dem Erfolg ab null. Hier zählen alle Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg ab eins. Für drei Misserfolge und danach Erfolg geben Sie k=4 ein.
Warum enden die Balken bei 31?
Die ersten 31 einzelnen Versuche bleiben so unterscheidbar. Die restliche Wahrscheinlichkeit wird separat angegeben. Bei kleinem p liegt möglicherweise fast die gesamte Wahrscheinlichkeit außerhalb. Ein fehlender Balken bedeutet niemals Wahrscheinlichkeit null.
Warum ist der Erwartungswert nicht ganzzahlig?
Er ist ein langfristiger Durchschnitt vieler Experimente und darf Dezimalstellen haben. Einzelne Versuchsanzahlen sind ganzzahlig. Versuch eins bleibt der wahrscheinlichste erste Erfolg, selbst bei großer mittlerer Wartezeit.
Wie funktionieren Genauigkeit und Schaltflächen?
Intern bleibt die Rechengenauigkeit erhalten. Normale Werte haben höchstens zwei Nachkommastellen; kleine positive Wahrscheinlichkeiten erscheinen wissenschaftlich oder unterhalb der Auflösung als < 1E−300. Kopieren enthält bestätigte p, k und Ergebnisse. Änderungen entfernen Zahlen und Grafik bis zur Neuberechnung; Leeren leert Zahlenfelder.