Anleitung
Eine inverse Matrix kehrt eine invertierbare lineare Abbildung um. Dieser Rechner verarbeitet numerische quadratische Matrizen mit 2 × 2 oder 3 × 3 Einträgen für kleine Algebraaufgaben und Koordinatentransformationen. Wähle zuerst die Größe. aij bezeichnet Zeile i und Spalte j, beginnend bei 1. Behalte die Zeilenreihenfolge bei: Transponieren oder Vertauschen verändert die Matrix und meist ihre Inverse.
Ersetze die Beispielwerte durch eigene Daten, wähle gegebenenfalls Vergleich oder Dimension und drücke Berechnen. Die Eingabetaste sendet dasselbe Formular ab. Erst dann wird ein Ergebnis bestätigt. Jede Zahlenänderung oder andere Auswahl entfernt das vorige Ergebnis und deaktiviert Ergebnis kopieren, damit keine alte Antwort als aktuell erscheint. Leeren entfernt die Zahlen und behält den gewählten Modus. Nach erfolgreicher Berechnung kopiert Ergebnis kopieren Eingabe und numerische Ausgabe als Text. Ist der Zugriff auf die Zwischenablage gesperrt, markiere den sichtbaren Text. Helle Werte sind ein ausführbares Beispiel. Beim ersten Fokus auf ein Zahlenfeld werden alle Beispielzahlen einmal geleert. Eigene Eingaben bleiben danach erhalten.
Berechnung und Ergebnis lesen
Bei Zeilen (a, b) und (c, d) ist die Determinante ad − bc. Die Inverse hat Zeilen (d, −b) und (−c, a), geteilt durch diese Determinante. Für 3 × 3 bilden Kofaktoren die Adjunkte, die ebenfalls durch die Determinante geteilt wird. Eingegebene Dezimalzahlen werden auf einen gemeinsamen Ganzzahlmaßstab gebracht; Determinante und Kofaktoren entstehen exakt vor der numerischen Ausgabe. Eine kleine Determinante ungleich null wird nicht automatisch als null behandelt.
Die drei gleich ausgerichteten Gitter zeigen A, A⁻¹ und A × A⁻¹. Die Einheitsmatrix hat Einsen auf der Hauptdiagonale und sonst Nullen. Der maximale absolute Unterschied dazu wird mit der ungerundeten Inversen separat berechnet. κ∞ = ‖A‖∞ ‖A⁻¹‖∞ schätzt die Empfindlichkeit; jede Norm ist die größte absolute Zeilensumme. Ein großer Wert warnt, dass kleine Eingabe- oder Rundungsänderungen das Ergebnis stark beeinflussen können.
Beispiele
Beispiel 1: Für 2 × 2 mit Zeilen (4, 7) und (2, 6) ist die Determinante 10. Die Inverse hat Zeilen (0.6, −0.7) und (−0.2, 0.4). Das Produkt hat Zeilen (1, 0) und (0, 1); sein erster Eintrag ist 4 × 0.6 + 7 × (−0.2) = 1.
Beispiel 2: Trage in 3 × 3 die Diagonale 2, 4, 5 und sonst Nullen ein. Die inverse Diagonale lautet 0.5, 0.25, 0.2; die Determinante ist 40 und das Produkt die Einheitsmatrix. Dagegen bilden Zeilen (1, 2) und (2, 4) eine singuläre 2 × 2-Matrix ohne Inverse.
Grenzen und Fehlerbehebung
Einträge sind null oder Beträge von 1e−12 bis 1e12 mit Dezimalpunkt oder wissenschaftlicher Schreibweise. Brüche, Symbole, nichtquadratische Matrizen und Größen über 3 werden nicht unterstützt. Alle aktiven Felder müssen ausgefüllt sein; leer bedeutet nicht null. Singularität wird für die exakten eingegebenen Dezimalzeichenfolgen entschieden, Inverse und Produkt werden numerisch ausgegeben. Eine Warnung erscheint bei κ∞ über 1e10 oder Einheitsmatrixfehler über 1e−8. Ein gut aussehendes gerundetes Produkt garantiert bei schlechter Kondition keine Genauigkeit. Bewahre Eingabe und Fehler mit dem kopierten Ergebnis auf.
Höchstens 15 signifikante Eingabeziffern verwenden.
Häufige Fragen
Ist eine winzige Determinante immer schlecht?
Nein. Eine gleichmäßig kleine Diagonalmatrix kann gut konditioniert sein. Maßstab und Kondition sind entscheidend.
Warum werden Gitterwerte gerundet?
Bis zu zwei Dezimalstellen erleichtern das Lesen; kleine Nichtnullwerte behalten weitere Stellen. Die Prüfung nutzt die ungerundete Inverse.
Was bedeutet singulär?
Die Determinante ist null und es gibt keine eindeutige Umkehr. Ein Fehler wird angezeigt, Kopieren bleibt deaktiviert.
Löst die Seite große Gleichungssysteme?
Nein. Sie berechnet nur diese kleine Inverse, ohne rechte Seite oder Pseudoinverse.