So funktioniert es
- Beide Listen in derselben Reihenfolge eingeben: Der erste Wert der einen gehört zum ersten Wert der anderen. Pro Liste eine einheitliche Maßeinheit verwenden und Überschriften sowie Einheitensymbole entfernen.
- Zahlen durch Leerzeichen, Kommas oder Semikolons trennen. Dezimalzahlen mit Punkt schreiben, etwa 1.5. Ein Komma trennt immer zwei Werte, auch bei deutscher Ergebnisausgabe. Wissenschaftliche Schreibweise wie 2e-3 ist möglich.
- Ergebnisse und Diagramme aktualisieren sich, sobald beide Listen gültig sind. Bei unvollständigen oder unterschiedlich langen Listen bleibt das Ergebnis leer. Berechnen zeigt bei Bedarf die Eingabefehler an.
- Ergebnisse kopieren übernimmt die numerische Zusammenfassung als Text. Leeren entfernt Eingaben und Ergebnisse. Das Diagramm erklärt die Rechnung auf dem Bildschirm; ein Bild- oder Datenexport ist nicht enthalten.
Beispiel
Welche Gerade passt am besten zu den Punkten? Die vertikalen Abstände sind Residuen: beobachtetes Y minus angepasstes Y.
ŷ = a + bX · e = Y − ŷ
X: 1 2 3 · Y: 2 3 5
Steigung = 1,5 · Achsenabschnitt ≈ 0,33 · Bei X = 2: ŷ ≈ 3,33
Beim Öffnen stehen diese Beispieldaten in den Feldern. Für eigene Daten ändern und anschließend berechnen.
Ergebnisse verstehen
Der Rechner passt eine Gerade an gepaarte numerische Beobachtungen an. Damit lassen sich Trends untersuchen, Aufgaben nachrechnen oder Y für ein bestimmtes X schätzen. Er erklärt Y durch X und enthält einen Achsenabschnitt. Mehrere Einflussgrößen, gekrümmte Modelle und eine erzwungene Ursprungsgerade sind nicht enthalten.
Das Modell lautet ŷ = a + bX. Mit dx = X − Mittelwert(X) und dy = Y − Mittelwert(Y) gilt b = Σ(dx × dy) / Σ(dx²) und a = Mittelwert(Y) − b × Mittelwert(X). Minimiert wird die Summe der quadrierten vertikalen Residuen, nicht der senkrechten Abstände zur schrägen Geraden.
Die Steigung beschreibt die Änderung des angepassten Y je zusätzlicher X-Einheit. Der Achsenabschnitt gehört zu X = 0 und kann außerhalb der Daten liegen. R² ist der durch die Gerade erklärte Anteil der zentrierten Y-Streuung; in diesem Modell mit Achsenabschnitt entspricht er bei variierendem Y dem Quadrat von r.
Das erste Diagramm verbindet Beobachtungen und Gerade durch vertikale Residuen. Das zweite zeigt dieselben vorzeichenbehafteten Abweichungen um null mit identischer X-Skala. Krümmungen, zunehmende Streuung und einzelne große Residuen weisen auf Grenzen der Geraden hin. Die Linie wird im beobachteten X-Bereich gezeichnet.
Rechenbeispiele
X = 1, 2, 3 und Y = 2, 4, 6 ergeben Steigung 2, Achsenabschnitt 0 und R² = 1. Für X = 4 folgt Y = 8. Alle Residuen sind null; die Vorhersage ist dennoch als Extrapolation gekennzeichnet, da 4 außerhalb von 1–3 liegt.
X = 1, 2, 3 und Y = 2, 3, 5 ergeben b = 1,5, a ≈ 0,33 und R² ≈ 0,96. Angepasste Werte: ungefähr 1,83; 3,33; 4,83. Residuen: 0,17; −0,33; 0,17. Die Vorhersage für X = 2 ist ungefähr 3,33.
Eingabe, Genauigkeit und Ausgabe
Für eine Vorhersage das optionale X-Feld vor dem Berechnen ausfüllen; für die reine Anpassung leer lassen. Vorhersagen verwenden ungerundete interne Koeffizienten, weshalb Nachrechnen mit den angezeigten Werten geringfügig abweichen kann. Wenn möglich, die Vorhersage an neuen Beobachtungen prüfen. Gute Anpassung garantiert keine zukünftige Genauigkeit; Extrapolation ist besonders unsicher.
Beide Listen benötigen gleich viele Werte, mindestens 2 und höchstens 200. Fehlende Einträge, Text, NaN und Unendlich werden abgewiesen. Null, negative und wiederholte Werte sind erlaubt. Bei fehlenden Beobachtungen das vollständige Paar entfernen, damit die Zuordnung erhalten bleibt.
Der Betrag eines von null verschiedenen Eingabewerts muss zwischen 1e-100 und 1e100 liegen. Der Browser rechnet mit etwa 15–16 signifikanten Stellen. Unterschiedliche Einträge, die dieselbe gespeicherte Zahl ergeben, werden abgewiesen; einen gemeinsamen Ausgangswert abziehen oder passendere Einheiten wählen.
Die Anzeige nutzt gewöhnlich höchstens zwei Nachkommastellen. Kleine Werte ungleich null erscheinen wissenschaftlich; Zwischenergebnisse bleiben ungerundet. Verschobene oder skalierte Achsen erklären ausdrücklich die Rückrechnung, damit kleine Unterschiede neben großen Ausgangswerten sichtbar bleiben.
Häufige Fragen
Warum ist konstantes X nicht zulässig?
Ohne horizontale Streuung ist der Nenner der Steigung null und keine eindeutige Steigung bestimmbar. Wiederholte X-Werte sind erlaubt, solange mindestens zwei unterschiedliche Werte vorkommen.
Was passiert bei konstantem Y?
Die Gerade ist horizontal mit Steigung null und dem konstanten Wert als Achsenabschnitt. Die Residuen sind null, R² bleibt wegen fehlender Gesamtstreuung aber undefiniert.
Ist eine Gerade durch zwei Punkte zuverlässig?
Zwei verschiedene X-Werte bestimmen eine Gerade exakt. Residuen null und R² = 1 sind dann geometrisch bedingt und kein Beleg für Prognosegüte oder Signifikanz.
Gibt es Konfidenzintervalle oder Tests?
Nein. Ausgegeben werden Gerade und beschreibende Residuen, ohne p-Werte, Konfidenzintervalle oder Prognosegarantie. Das Vertauschen von X und Y verändert außerdem die Regressionsaufgabe.