Anleitung
- Wähle Punkt und Normale oder drei Punkte. Nur die zugehörigen Felder werden verwendet.
- Gib Koordinaten und eine Normale ungleich null oder zwei weitere Punkte ein.
- Berechne die Gleichung, Einheitsnormale und Einsetzprüfung.
Verwende für alle Koordinaten dieselbe Längeneinheit. Eine andere Einheitenbeschriftung rechnet die Zahlen nicht um. Zahlen wie 1e-4 sind erlaubt, algebraische Ausdrücke nicht.
Die Zeichnung aktualisiert sich, sobald die Eingaben eine gültige Geometrie beschreiben. Bei fehlenden oder ungültigen Werten bleibt sie bis zur vollständigen Eingabe ausgeblendet. Änderungen löschen das bisherige Zahlenergebnis und deaktivieren Ergebnis kopieren. Berechnen bestätigt die aktuellen Werte zum Kopieren als Text. Leeren entfernt Zahlen und behält die Auswahl bei.
Formel und Bedeutung
Die Normale steht senkrecht auf allen Richtungen in der Ebene. Bei drei Punkten liefert (Q − P) × (R − P) diese Richtung. Die Koeffizienten werden so skaliert, dass die größte Normalkomponente den Betrag 1 hat und die erste wesentliche Komponente positiv ist.
n · (X − P) = 0; d = −n · P. Bei drei Punkten: n = (Q − P) × (R − P).
Rechenbeispiel
P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), R = (0, 0, 1) ergeben x + y + z − 1 = 0. Jeder Punkt erfüllt die Gleichung. Die Einheitsnormale ist ungefähr (0,58; 0,58; 0,58).
Mit P = (2, −1, 3) und Normale (0, 0, 5) lautet der Ausdruck 5(z − 3) = 0, normalisiert z − 3 = 0. Die Normale (0, 0, −10) ergibt dieselbe Ebene. Der Punkt bestimmt die Höhe, die Normale die Ausrichtung.
Anwendung und Grenzen
Für analytische Geometrie und 3D-Modelle. Der Einsetzrest ist der größte absolute Rest beim Einsetzen aller Eingabepunkte in die ungerundete Gleichung. Er sollte null oder nahe null sein. Richtungen mit einem Winkelsinus unter 10⁻¹⁰ gelten als numerisch kollinear.
Die Berechnung nutzt Gleitkommazahlen. Übliche Ergebnisse haben bis zu zwei Nachkommastellen; kleine Werte ungleich null erscheinen wissenschaftlich. Gleichungen zeigen bis zu 12 signifikante Stellen und können gerundet sein. Erlaubt sind null oder Beträge von 10⁻⁹ bis 10⁹; Ergebnisse sind auf 10¹⁵ begrenzt.
Die orthografische Zeichnung passt sich der Geometrie an. Nicht alle Winkel und Längen bleiben auf dem Bildschirm erhalten. Die kleinen Achsen zeigen die Orientierung, nicht den Ursprung. Koordinaten und Abstände stehen im Ergebnis.
Häufige Fragen
Warum reichen manche drei Punkte nicht aus?
Wiederholte oder auf einer Geraden liegende Punkte bestimmen keine eindeutige Ebene. Wähle einen dritten Punkt abseits der Geraden.
Kann eine andere Gleichung richtig sein?
Ja. Ein gemeinsamer Faktor ungleich null liefert dieselbe Ebene. Eine andere Punktreihenfolge kann die Normale umkehren.
Ist der Pfeil ein Ortsvektor?
Nein. Er zeigt die Normalenrichtung ab der Ebene. Seine gezeichnete Länge wird der Lesbarkeit angepasst; der Zahlenvektor steht im Ergebnis.
Wie verwende ich die kopierten Zahlen?
Füge sie als Rechenkontrolle in Notizen oder Aufgaben ein und bewahre Einheit und ursprüngliche Eingaben auf. Gerundete Koordinaten sind keine exakten symbolischen Werte. Wird eine Berechnung wegen Genauigkeitsproblemen abgelehnt, verschiebe oder skaliere die Koordinaten. Ein leeres Ergebnis bedeutet nicht null.