Eine quadratische Gleichung lösen
Die Gleichung in Normalform bringen
Dieser Rechner löst ax² + bx + c = 0 mit reellen Koeffizienten. Die Eingabefelder stehen direkt in der Gleichung: a gehört zu x², b zu x und c ist die Konstante. a darf nicht null sein. Fehlt der x-Term oder die Konstante, trage 0 ein, statt das Feld leer zu lassen. Ein x² ohne Zahl davor hat den Koeffizienten 1; bei −x² ist es −1.
Die Null rechts bedeutet, dass alle Terme links stehen. Wenn du auf beiden Seiten dieselben Terme abziehst, bleiben die Lösungen gleich. Beispiel: x² + 2x = 3 → x² + 2x − 3 = 0. Eingabe: a = 1, b = 2, c = −3.
Zahlen mit Vorzeichen eingeben und berechnen
Trage nur Zahlen mit ihrem jeweiligen Vorzeichen ein. Die Pluszeichen zwischen den Feldern verbinden vorzeichenbehaftete Terme: Ein negatives b zu addieren bedeutet, seinen Betrag abzuziehen. Verwende in jeder Sprache einen Dezimalpunkt, etwa 0.5 oder 2.5e-6. Berechnen oder Enter zeigt die Gleichung und ihre reellen Lösungen. Jede Änderung eines Koeffizienten entfernt sofort das alte Ergebnis. Leeren löscht Eingaben, Fehler und Ergebnis.
Diskriminante, Nullstellen und Scheitelpunkt
Für ax² + bx + c = 0 ist Δ = b² − 4ac. Positives Δ liefert zwei reelle Nullstellen, null eine doppelte und negatives Δ keine reelle. Es gilt x = (−b ± √Δ)/(2a); komplexe Ergebnisse sind ausgeschlossen.
Die Scheitelpunktform ist y = a(x − h)² + k mit h = −b/(2a) und k = −Δ/(4a). Intern reduziert eine stabile Formel den Verlust einer sehr kleinen gültigen Nullstelle.
Durchgerechnete Beispiele
Quadratisch: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6. Δ = 1, Nullstellen 2 und 3; y = (x − 2.5)² − 0.25.
Doppelte Nullstelle: x² − 6x + 9 = 0
a = 1, b = −6, c = 9 eingeben. Δ = 36 − 36 = 0: x = 3 ist die einzige, doppelte Nullstelle. Die Scheitelpunktform lautet y = (x − 3)² + 0. Einsetzen ergibt 9 − 18 + 9 = 0.
Keine reellen Nullstellen: x² + 1 = 0
Δ = −4. Es gibt keine reellen Nullstellen; komplexe werden nicht berechnet.
Ergebnis verwenden und Grenzen verstehen
Genauigkeit, Grenzen und Fehler
Normale Ergebnisse haben höchstens zwei Dezimalstellen ohne Endnullen. Sehr kleine oder große Werte erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise, damit ein Wert nicht als null verschwindet.
Keine Einheiten, Tausendertrennzeichen, Brüche oder Formeln eingeben. Beträge ungleich null müssen zwischen 1e-150 und 1e150 liegen. Ein leeres Feld gilt nicht als null. Wird der Zahlenbereich überschritten, verringere den Größenunterschied der Koeffizienten oder verwende eine geeignete gemeinsame Skalierung. Sehr nahe Nullstellen können empfindlich auf Rundung reagieren; dies ist ein numerischer Rechner ohne exakte symbolische Rechnung.
Ergebnis prüfen und verwenden
Setze jede Nullstelle in die ursprüngliche Gleichung ein. Dezimal- und irrationale Werte können kleine Rundungsreste erzeugen; verwende keine gerundeten Zwischenwerte weiter.
Geeignet für Hausaufgabenkontrolle, Unterrichtsbeispiele und geordnete Koeffizienten. Sichtbare Angaben können manuell kopiert werden; nichts wird gesendet oder gespeichert.
Häufige Fragen
Warum muss rechts null stehen?
Die Null rechts bedeutet, dass alle Terme links stehen. Wenn du auf beiden Seiten dieselben Terme abziehst, bleiben die Lösungen gleich.
Was passiert, wenn a null ist?
a muss ungleich null sein. Bei a = 0 ist die Gleichung linear; löse bx + c = 0 separat.
Warum wissenschaftliche Schreibweise?
Sie bewahrt sehr kleine Werte und hält sehr große Werte lesbar.
Ist eine negative Diskriminante ein Fehler?
Nein, sie bedeutet nur, dass keine reellen Nullstellen existieren.
Kann ich eine ganze Gleichung einfügen?
Nein. In die Standardform bringen und nur die reellen Koeffizienten eingeben.