Anleitung
Löse eine quadratische Ungleichung einer reellen Variablen, nachdem alle Terme links stehen: ax² + bx + c verglichen mit null. Das Ergebnis zeigt passende x-Werte statt nur Gleichungswurzeln. Wähle < oder ≤ für negative beziehungsweise nichtpositive Funktionswerte und > oder ≥ für positive beziehungsweise nichtnegative. Das hilft bei Algebraaufgaben und Parameterbereichen einfacher quadratischer Modelle.
Ersetze die Beispielwerte durch eigene Daten, wähle gegebenenfalls Vergleich oder Dimension und drücke Berechnen. Die Eingabetaste sendet dasselbe Formular ab. Erst dann wird ein Ergebnis bestätigt. Jede Zahlenänderung oder andere Auswahl entfernt das vorige Ergebnis und deaktiviert Ergebnis kopieren, damit keine alte Antwort als aktuell erscheint. Leeren entfernt die Zahlen und behält den gewählten Modus. Nach erfolgreicher Berechnung kopiert Ergebnis kopieren Eingabe und numerische Ausgabe als Text. Ist der Zugriff auf die Zwischenablage gesperrt, markiere den sichtbaren Text. Helle Werte sind ein ausführbares Beispiel. Beim ersten Fokus auf ein Zahlenfeld werden alle Beispielzahlen einmal geleert. Eigene Eingaben bleiben danach erhalten. Eingabevorschau — Berechnen bestätigt das Ergebnis.
Berechnung und Ergebnis lesen
Für a ungleich null bestimmt b² − 4ac die reellen Grenzen. Zwei verschiedene Nullstellen bilden drei Intervalle: Außen gilt das Vorzeichen von a, innen das entgegengesetzte. Eine doppelte Nullstelle berührt null ohne Vorzeichenwechsel. Ohne reelle Nullstellen bleibt das Vorzeichen überall gleich. Das Diskriminantenvorzeichen wird aus den eingegebenen Dezimalzahlen mit Ganzzahlarithmetik bestimmt, ohne willkürlichen Grenzwert für kleine Zahlen.
Lies zuerst die Lösungsmenge und vergleiche sie mit den Vorzeichenintervallen. Diese sind offen, weil Nullstellen separat behandelt werden. Strenge Ungleichungen schließen alle Nullstellen aus; ≤ und ≥ können sie einschließen. Eckige Klammern und gefüllte Kreise bedeuten Zugehörigkeit, runde Klammern und offene Kreise Ausschluss. Die Kurve zeigt y = ax² + bx + c mit beschrifteten Achsenbereichen. Das Bild ist ein endlicher Ausschnitt, während Zahlenstrahlpfeile unendliche Fortsetzung bedeuten. Die Achsen können unterschiedliche Maßstäbe haben.
Beispiele
Beispiel 1: a = 1, b = −3, c = 2 und ≤ ergibt [1; 2], Nullstellen 1 und 2 sowie Vorzeichen +, −, +. Bei x = 1.5 ist der Wert −0.25 und erfüllt die Bedingung. Die Grenzen ergeben null. Mit ≥ lautet die Lösung (−∞; 1] ∪ [2; ∞).
Beispiel 2: a = 1, b = −4, c = 4 und < ergibt ∅, da der Ausdruck (x − 2)² ist. Mit ≤ bleibt {2}; mit > sind alle reellen Zahlen außer 2 erlaubt. Eine doppelte Nullstelle bedeutet keinen Vorzeichenwechsel.
Grenzen und Fehlerbehebung
Erlaubt sind Dezimalkoeffizienten, keine symbolischen Ausdrücke, Brüche oder zweite Unbekannte y. Eingaben sind null oder Beträge von 1e−12 bis 1e12. Bei a = 0 wird die verbleibende lineare Ungleichung gelöst; ist auch b null, wird die Konstante geprüft. Nullstellen und Einsetzwerte sind Näherungen mit zusätzlichen Stellen. Nahe Nullstellen oder extreme Größenverhältnisse sind im Bild möglicherweise schwer zu unterscheiden. Verwende die numerische Menge und die ursprünglichen Koeffizienten statt einer visuellen Schätzung.
Höchstens 15 signifikante Eingabeziffern verwenden. Numerisch nicht unterscheidbare Grenzen werden abgelehnt; die Variable gegebenenfalls neu ausdrücken.
Häufige Fragen
Kann es ohne Nullstellen Lösungen geben?
Ja: x² + 1 > 0 gilt für jedes x, obwohl die Kurve null nie erreicht.
Was passiert bei negativem a?
Die Parabel öffnet nach unten und die äußeren Intervalle sind negativ. Der Vergleich wählt die erlaubten Bereiche.
Wie wird der lineare Fall gelöst?
a = 0, b = −2, c = 6 und > entspricht −2x + 6 > 0 und ergibt (−∞; 3).
Was bedeutet ein kleiner Einsetzrest?
Die Nullstelle wurde numerisch angenähert. Ein kleiner Rest prüft Konsistenz, beweist aber keine exakte algebraische Nullstelle des angezeigten Dezimalwerts.