Lineares Gleichungssystem lösen
Eine Lösung erfüllt alle Gleichungen gleichzeitig. Diese Seite klassifiziert quadratische 2×2- und 3×3-Systeme.
Anwendung
- Zwei oder drei Variablen wählen.
- Koeffizienten als ax+by=d oder ax+by+cz=d eingeben; fehlende Terme sind 0.
- System lösen und Klassifikation lesen.
- Bei eindeutiger Lösung Werte und Residuum prüfen.
Elimination und Einordnung
Gauß-Elimination mit partieller Pivotwahl darf Zeilen tauschen; die mathematische Lösung bleibt gleich.
Ein Pivot je Variable bedeutet eindeutig; 0=nicht null bedeutet keine; weniger Pivots ohne Widerspruch bedeutet unendlich viele. Eindeutige Werte werden eingesetzt.
Beispiele
Eindeutig 2×2
x+y=6 und 2x−y=3 ergibt x=3, y=3.
Keine Lösung
x+y=2 und 2x+2y=5 widersprechen sich.
Unendlich viele
x+y=2 und 2x+2y=4 beschreiben dieselbe Gerade.
Eindeutig 3×3
x+y+z=6, 2x−y+z=3 und x+2y−z=2 ergibt x=1, y=2, z=3.
Grenzen
- Nur Koeffizienten; kein Freitextparser, symbolische Brüche, komplexe Zahlen oder Einheiten.
- Endliche Eingaben bis Betrag eine Milliarde; schlecht konditionierte Systeme können empfindlich sein.
- Toleranz 0,0000000001 nach Zeilenskalierung; keine symbolische Algebra.
- Genau zwei oder drei Gleichungen mit gleich vielen Variablen.
Häufige Fragen
Was heißt keine Lösung?
Die Gleichungen stellen unvereinbare Bedingungen.
Was heißt unendlich viele?
Unabhängige Bedingungen fehlen und Variablen bleiben frei.
Warum null eingeben?
Ein fehlender Term hat Koeffizient null.
Was ist das Residuum?
Die größte absolute Abweichung nach Einsetzen in die Originalgleichungen.