Cómo dividir polinomios
Qué hace esta calculadora
La división larga expresa un dividendo como el producto del divisor y el cociente, más un resto. Esta calculadora ayuda a estudiantes a comprobar ejercicios de álgebra y a docentes a preparar ejemplos resueltos. Acepta dos polinomios desarrollados en x y muestra las operaciones completas, también con coeficientes fraccionarios. No necesitas ordenar los términos ni escribir los que tienen coeficiente cero: la herramienta agrupa términos semejantes y ordena las potencias. Obtienes una identidad polinómica exacta, no un valor de x ni la solución de una ecuación.
Cómo usar los dos campos
Escribe el polinomio que quieres dividir en Dividendo y el polinomio por el que divides en Divisor. Por ejemplo, introduce x^3 - 2x^2 - 4x + 8 y x - 3. Pulsa Calcular o la tecla Intro desde cualquiera de los campos. Consulta primero el cociente y el resto; después, sigue los pasos. Al editar un campo desaparece el resultado anterior para no confundirlo con el nuevo. Los botones de ejemplo piden confirmación antes de sustituir los datos. Borrar datos elimina las dos expresiones y el resultado.
Notación y coeficientes exactos
Escribe las potencias con ^: x^3 significa x al cubo. Se aceptan 3x y 3*x. Separa términos con + o - y antepone - al primer término si es negativo. Para fracciones numéricas usa una barra, como 1/2x; para decimales, un punto, como 0.5x. Ambos representan exactamente el mismo número racional. El separador decimal siempre es un punto, incluso en la interfaz española. No se admiten paréntesis, productos de polinomios, funciones, otras variables, exponentes negativos o fraccionarios ni notación científica. Desarrolla los productos antes de introducirlos.
Por qué funciona cada paso
Divide el término de mayor grado del resto actual por el término de mayor grado del divisor. Así obtienes el siguiente término del cociente. Multiplícalo por todo el divisor y resta todo ese producto del resto actual. Los términos principales se cancelan y el grado disminuye. Repite hasta que el resto sea cero o tenga un grado menor que el divisor. Cada tarjeta muestra estas tres operaciones. Las potencias ausentes tienen coeficiente cero, aunque no se escriban. Cada resta utiliza el resto actual, no el dividendo original.
Ejemplo 1: resto distinto de cero
Al dividir x^3 - 2x^2 - 4x + 8 entre x - 3, el cociente es x^2 + x - 1 y el resto es 5. Los restos sucesivos son x^2 - 4x + 8, después -x + 8 y finalmente 5. Comprueba el resultado multiplicando (x - 3)(x^2 + x - 1) y sumando 5: recuperas el polinomio original. Como expresión racional, el resultado es x^2 + x - 1 + 5/(x - 3), con x ≠ 3.
Ejemplo 2: coeficientes fraccionarios
Divide 1/2x^2 + 3/4x + 1/4 entre x + 1. El cociente es 1/2x + 1/4 y el resto, 0. El primer término del cociente es 1/2x; al restar su producto queda 1/4x + 1/4. El siguiente término, 1/4, cancela lo que queda. Si introduces 0.5x^2 + 0.75x + 0.25 obtienes las mismas fracciones reducidas. Así puedes comparar un ejercicio decimal con una solución en fracciones sin errores de redondeo.
Límites y errores frecuentes
Cada campo admite 500 caracteres y 60 términos, con exponentes enteros entre 0 y 20. Cada número admite nueve dígitos, incluidos los decimales; el numerador y el denominador se cuentan por separado. Los numeradores y denominadores intermedios se limitan a 2.000 dígitos. Se rechaza un divisor que se simplifica a cero, como x - x. Tampoco puede ser cero el denominador de una fracción. Corrige el campo señalado sin perder tu expresión. Revisa los signos: restar un coeficiente negativo equivale a sumar su valor positivo.
Copiar y utilizar la solución
Copiar solución incluye los datos simplificados, el cociente, el resto, la identidad verificada y todos los pasos en texto sin formato. Las potencias usan ^ y los coeficientes son fracciones reducidas, fáciles de pegar en apuntes o mensajes. El área desplegable Texto de la solución permite copiar manualmente si el portapapeles no está disponible. El cálculo se realiza en este navegador sin enviar las expresiones a un servicio de resolución. No se guarda el trabajo entre visitas. El menú común de idioma avisa antes de navegar, porque el cambio reinicia el cálculo.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el cociente es cero?
Si el grado del dividendo es menor que el del divisor, no se puede obtener otro término polinómico. El cociente es cero y el dividendo completo es el resto. Un dividendo cero también produce cociente y resto cero con cualquier divisor no nulo.
¿Puede ser constante el divisor?
Sí. Se admite cualquier constante racional distinta de cero. Cada coeficiente se divide por esa constante y el resto es cero. Un divisor constante tiene grado cero.
¿Un resto cero significa que el divisor es un factor?
Sí: dividendo = divisor × cociente. Si el divisor es x - c, el resto también es el valor del dividendo evaluado en c. Este teorema del resto permite una comprobación independiente de ese caso.
¿Es división sintética?
No. La herramienta utiliza división larga con todos los divisores admitidos, incluidos los cuadráticos y los de grado superior. No presenta una tabla de división sintética ni busca raíces.
¿Qué demuestra la identidad verificada?
Se comprueban todos los coeficientes de dividendo = divisor × cociente + resto con fracciones exactas. La identidad vale para todo x. La expresión dividendo/divisor solo está definida donde el divisor no es cero; cancelar un factor no elimina esa restricción original.