Trouver un inverse modulaire
Un inverse modulaire annule une multiplication dans un modulo donné. Cette page ne génère pas de clés RSA et ne factorise pas.
Mode d’emploi
- Saisissez un entier a, même négatif.
- Saisissez un modulo positif m supérieur à 1.
- Calculez pour obtenir, s’il existe, l’unique x entre 0 et m−1.
- Vérifiez l’identité de Bézout et le reste du produit.
Condition et formule
L’inverse existe exactement si PGCD(a,m)=1. Euclide étendu trouve u,v tels que a·u+m·v=1 ; u réduit modulo m est l’inverse.
Un a négatif est normalisé par ((a mod m)+m) mod m.
Exemples
3 modulo 11
PGCD(3,11)=1 et 3×4=12 ; 12 mod 11=1, donc l’inverse est 4.
−3 modulo 11
−3 devient 8 ; 8×7=56 et 56 mod 11=1, donc l’inverse est 7.
6 modulo 9
PGCD(6,9)=3, donc il n’existe aucun inverse.
Limites et portée
- Chaque entrée accepte au plus 200 chiffres décimaux ; les zéros initiaux comptent.
- Décimales, notation scientifique, unités, espaces internes et Infinity sont refusés.
- Un modulo nul, égal à 1 ou négatif est invalide. a=0 est accepté mais n’a pas d’inverse pour m>1.
- Le résultat est un entier exact, pas un générateur de clés ni un service de sécurité.
Questions fréquentes
Pourquoi le PGCD doit-il valoir 1 ?
Un facteur commun supérieur à 1 divise tout produit a×x, qui ne peut donc avoir un reste de 1.
Un entier négatif peut-il avoir un inverse ?
Oui ; il est d’abord réduit à son reste non négatif.
Pourquoi une seule réponse ?
Tous les inverses diffèrent d’un multiple de m ; on affiche l’unique valeur entre 0 et m−1.
Est-ce la même chose que 1/a ?
Non ; c’est un entier dont le produit laisse un reste de 1 pour le modulo choisi.