Mode d’emploi
Décomposez le vecteur initial u en une partie p suivant le vecteur de référence v et un reste perpendiculaire r. Choisissez 2D pour x et y, ou 3D si z est nécessaire. Les vecteurs doivent employer le même repère et des unités compatibles. L’ordre compte : u est projeté et v fixe la direction cible. Vous pouvez vérifier géométrie, mouvement directionnel et composantes sans normaliser v au préalable.
Remplacez les exemples modifiables par vos données, choisissez la comparaison ou la dimension si nécessaire, puis appuyez sur Calculer. La touche Entrée soumet le même formulaire. Le résultat n’est confirmé qu’après cette action. Modifier un nombre ou une sélection efface la réponse précédente et désactive la copie pour éviter toute confusion. Effacer vide les champs numériques tout en conservant le mode choisi. Après le calcul, Copier le résultat copie les données et les valeurs obtenues en texte brut. Si le presse-papiers est bloqué, sélectionnez le texte affiché. Les valeurs pâles forment un exemple calculable. Le premier focus dans un champ numérique efface tous les exemples une seule fois. Vos saisies suivantes sont conservées. Aperçu des données : calculez pour confirmer le résultat.
Méthode et lecture du résultat
La formule est p = (u · v)/(v · v) v et r = u − p. De façon équivalente, normalisez v en une direction unitaire d, calculez le scalaire signé s = u · d, puis p = sd. C’est cette forme qui est utilisée. Le scalaire n’est pas toujours la longueur non négative de la projection : celle-ci vaut |s|. En arithmétique exacte, r · v = 0 et le reste est perpendiculaire à la référence.
La sortie contient projection, composante scalaire, reste, produit scalaire résiduel et erreur relative d’orthogonalité. L’erreur relative aide pour les grands vecteurs, car le produit absolu seul peut tromper. Dans le diagramme, u et v partent de l’origine, p suit la droite de référence et r va de l’extrémité de p à celle de u : on voit donc p + r = u. Traits continus, tirets et étiquettes distinguent les vecteurs sans dépendre seulement de la couleur.
Exemples
Exemple 1 : en 2D, u = (3, 4) et v = (1, 0) donnent p = (3, 0), s = 3, r = (0, 4) et r · v = 0. La même échelle sur les deux axes conserve l’angle droit entre la référence horizontale et le reste vertical.
Exemple 2 : en 3D, u = (2, −1, 3) et v = (0, 0, −2) donnent p = (0, 0, 3), s = −3 et r = (2, −1, 0). Le scalaire négatif signifie que p pointe à l’opposé de v, même si sa longueur est 3. La vérification du produit scalaire donne zéro.
Limites et dépannage
Seules deux ou trois composantes réelles sont acceptées. v ne peut être nul, mais u le peut. Utilisez un point décimal. Les entrées valent zéro ou ont une valeur absolue de 1e−12 à 1e12. Les sorties usuelles ont au plus deux décimales ; les petites valeurs non nulles gardent plus de chiffres. Les calculs utilisent les valeurs non arrondies. La figure 3D est une projection parallèle sur (x − 0.6z, y − 0.4z) : angles et longueurs sont déformés et des points peuvent se superposer. Vérifiez l’orthogonalité par le produit scalaire, pas par l’angle visible. La copie contient les valeurs, pas une image.
Utilisez au plus 15 chiffres significatifs en entrée.
Questions fréquentes
Multiplier v par un nombre positif change-t-il p ?
Non. Cela change sa longueur, pas sa droite ni la projection.
Et si on inverse v ?
Le scalaire change de signe, mais p et r restent identiques.
La projection peut-elle être nulle ?
Oui. Si u est perpendiculaire à v, p est nul et tout u constitue le reste.
Pourquoi z a-t-il disparu ?
Le mode 2D masque et ignore z. Revenir à 3D rétablit le champ et nécessite un nouveau calcul.