逆行列計算機

使い方

逆行列は可逆な線形変換を元に戻します。このページは2 × 2・3 × 3の数値正方行列を扱い、小規模な代数の課題や座標変換の確認に使えます。まずサイズを選びます。aijは1から数えたi行j列の要素です。行の順番を保って入力してください。転置や要素の入れ替えは行列そのものを変え、通常は逆行列も変わります。

編集可能な初期例を自分の値に置き換え、必要に応じて比較記号・次元・サイズを選び、計算を押します。Enterでも同じフォームを実行できます。この操作を行うまでは結果は確定しません。数値の編集や選択の変更で前の結果が消え、コピーも無効になります。以前の答えを新しい入力の結果と取り違えるのを防ぐためです。クリアは数値欄を空にし、選択したモードは保持します。計算後の「結果をコピー」には入力と数値結果がプレーンテキストで含まれます。クリップボードが使用できないときは、表示された文字列を選択してください。 薄い値はそのまま計算できる例です。数値欄に初めてフォーカスすると例の数値を一度だけ消去し、その後の入力は保持します。

計算方法と結果の読み方

2 × 2で行が(a, b)、(c, d)なら行列式はad − bc、逆行列は(d, −b)、(−c, a)をその行列式で割ったものです。3 × 3では余因子から随伴行列を作り、行列式で割ります。入力小数を共通の整数スケールに変換し、行列式と余因子を厳密に計算してから数値出力にします。小さい非ゼロの行列式を自動的にゼロ扱いにはしません。

整列した3つの表は入力A、逆行列A⁻¹、積A × A⁻¹です。単位行列は主対角成分が1、それ以外が0です。丸め前の逆行列を使い、単位行列からの最大絶対誤差を別に示します。κ∞ = ‖A‖∞ ‖A⁻¹‖∞は入力変化への敏感さを推定します。各ノルムは行ごとの絶対値の和の最大値です。条件数が大きいと小さな入力変更や丸めが答えに大きく影響する可能性があります。

例

例1：2 × 2で行(4, 7)、(2, 6)を入力すると、行列式は10、逆行列は行(0.6, −0.7)、(−0.2, 0.4)です。積は行(1, 0)、(0, 1)になります。左上の要素は4 × 0.6 + 7 × (−0.2) = 1です。

例2：3 × 3で対角要素2、4、5、その他を0にします。逆行列の対角要素は0.5、0.25、0.2、行列式は40で、積は単位行列です。一方、2 × 2で行(1, 2)、(2, 4)は特異行列なので逆行列はありません。

制限とエラーの対処

要素は0または絶対値1e−12〜1e12で、ピリオドの小数点か指数表記を使います。分数、記号、非正方行列、4以上のサイズは対象外です。空欄はゼロとは扱わないため、有効なすべての欄に入力します。特異性は入力した厳密な小数文字列に対して判定し、逆行列と積の表示は浮動小数点です。κ∞が1e10を超えるか、単位行列との誤差が1e−8を超えると警告します。悪条件では、丸めた積がきれいに見えても精度の保証にはなりません。コピーした結果とともに入力と誤差も保存してください。

入力は有効数字15桁までです。

よくある質問