平面の方程式計算

使い方

1. 「点と法線」または「3点」を選びます。選んだ方法の項目だけを使います。
2. 座標と0でない法線、または追加の2点を入力します。
3. 計算すると方程式、単位法線、代入の確認結果が表示されます。

すべての座標に同じ長さの単位を使います。単位表示を変更しても数値は換算されません。1e-4のような数値は入力できますが、文字を含む式は入力できません。

入力から有効な図形が決まると、図がすぐに更新されます。未入力や無効な値がある間は図を隠し、入力がそろうと再表示します。編集すると前の数値結果とコピーは無効になります。計算ボタンで現在の結果を確定してからテキストをコピーしてください。クリアは数値を消し、選択項目は残します。

公式と結果の意味

法線は平面内のどの方向にも垂直です。3点の場合はQ − PとR − Pの外積で法線を求めます。法線の最大成分の絶対値が1、最初の意味のある成分が正になるよう係数をそろえます。

n · (X − P) = 0、d = −n · P。3点の場合はn = (Q − P) × (R − P)。

計算例

P = (2, −1, 3)、法線(0, 0, 5)なら5(z − 3) = 0で、係数をそろえた結果はz − 3 = 0です。法線を(0, 0, −10)にしても同じ平面です。点が高さを、法線が向きを決めます。

用途と制限

解析幾何や3Dモデルの確認に使えます。残差は、丸める前の方程式に各点を代入した値の絶対値の最大です。0または0に近い値になるはずです。方向間の角の正弦が10⁻¹⁰未満の場合は、数値的に一直線と扱います。

浮動小数点数で計算します。通常の結果は小数第2位まで、小さい0以外の値は科学表記で表示します。方程式の係数は有効数字12桁までのため、近似値を含む場合があります。入力は0または絶対値10⁻⁹～10⁹、計算値は絶対値10¹⁵までです。

図は図形に合わせて縮尺を調整した平行投影です。画面上ですべての角度や長さが保存されるわけではありません。小さな座標軸は向きを示し、原点の位置は示しません。数値は結果欄で確認してください。

よくある質問

3点を入れても計算できないのはなぜですか？

同じ点が含まれる場合や、3点が一直線上にある場合は平面が一意に決まりません。直線から離れた3点目を選んでください。

別の方程式も正解になりますか？

はい。全係数を同じ0以外の数倍にした式は同じ平面です。点の順番で外積の向きが逆になる場合もあります。

矢印は位置ベクトルですか？

いいえ。平面から伸びる法線方向です。図の矢印の長さは見やすく調整しています。数値のベクトルは結果欄を確認してください。

コピーした数値はどう使いますか？

ノートやワークシートに答え合わせとして貼り付け、座標の単位と元の入力値も残してください。丸めた表示座標は厳密な記号計算の値ではありません。精度の理由で計算できない場合は座標を平行移動するか縮尺を変えてください。空の結果を0とは解釈しないでください。