多項式の割り算の使い方
この計算機でできること
多項式の割り算では、被除式を「除式×商＋余り」という形に整理します。代数の宿題を確認する学習者や、解説用の例を用意する先生向けの計算機です。xについて展開された2つの多項式を入力すると、分数の係数も含めて計算の全手順を確認できます。項を並べ替えたり、係数が0の項を補ったりする必要はありません。同類項をまとめて次数順に整理してから割ります。結果は多項式の正確な恒等式であり、xの数値や方程式の解ではありません。
2つの入力欄の使い方
割られる多項式を「割られる式」に、割る側の多項式を「割る式」に入力します。例えば x^3 - 2x^2 - 4x + 8 と x - 3 を入力し、「計算する」を押すか、入力欄でEnterキーを押してください。まず商と余りを確認し、その下で計算手順を追えます。どちらかの入力を変更すると、以前の解答を新しい入力の結果と取り違えないように結果が消えます。例のボタンは入力の置き換え前に確認します。「入力を消去」は両方の式と結果を消します。
入力形式と正確な係数
指数は ^ で表し、x^3 はxの3乗です。3x と 3*x の両方が使えます。項は + または - で区切り、最初の項が負なら先頭に - を付けます。分数の係数は1/2x、小数なら0.5xのように書きます。この2つは同じ有理数として正確に扱います。どの表示言語でも小数点はピリオドを使い、コンマは使えません。括弧、多項式同士の積、関数、別の変数、負や分数の指数、科学的記数法には対応していません。積の形の式は先に自分で展開してから入力してください。
各手順の仕組み
現在の余りの最高次の項を、除式の最高次の項で割ると、商の次の項が得られます。その項を除式全体に掛け、できた積全体を現在の余りから引きます。最高次の項が打ち消され、次数が下がります。余りが0になるか、余りの次数が除式より小さくなるまで繰り返します。各カードにはこの3つの操作が表示されます。抜けている次数の項は、表示では省略していても係数0として扱います。毎回の引き算には、最初の被除式ではなく、その時点の余りを使います。
例1：余りがある場合
x^3 - 2x^2 - 4x + 8 を x - 3 で割ると、商は x^2 + x - 1、余りは5です。途中の余りは順に x^2 - 4x + 8、-x + 8、5となります。(x - 3)(x^2 + x - 1) に5を足すと元の3次式に戻るため、検算できます。有理式として書く場合は x^2 + x - 1 + 5/(x - 3) で、x ≠ 3という条件を残します。
例2：分数の係数の場合
1/2x^2 + 3/4x + 1/4 を x + 1 で割ると、商は1/2x + 1/4、余りは0です。最初の商の項は1/2xで、その積を引くと1/4x + 1/4が残ります。次の項1/4によって残りも消えます。0.5x^2 + 0.75x + 0.25 と入力しても、同じ既約分数の答えになります。小数の問題と分数で書かれた解答を、丸め誤差を入れずに比較できます。
上限とよくある間違い
各入力欄は500文字、60項まで、指数は0から20までの整数です。各数値は小数点の前後を合わせて9桁までで、分数の分子と分母は別々に数えます。正確な計算途中の分子・分母には2,000桁の上限があります。x - xのように整理すると0になる除式は受け付けません。分数の分母も0にはできません。エラーが出たら、式を残したまま指示された欄を直してください。特に引き算の符号に注意し、負の係数を引くときはその正の値を足します。
解答のコピーと活用
「解答をコピー」では、整理した入力式、商、余り、検算済みの恒等式、全手順を通常のテキストとしてコピーします。指数には ^、係数には既約分数を使うため、ノートやメッセージに貼り付けても読みやすい形です。クリップボードが使えない場合は「解答テキスト」を開き、手動で選択してコピーできます。計算はブラウザー内で行い、入力式を外部の計算サービスには送信しません。次の訪問まで作業を保存する機能はありません。共通の言語メニューで移動すると計算はリセットされるため、移動前に確認が表示されます。
よくある質問
商が0になるのはなぜですか？
被除式の次数が除式より小さいと、多項式の項としてこれ以上割れません。商は0で、被除式全体が余りになります。被除式が0の場合も、0でない除式なら商・余りはともに0です。
定数で割ることはできますか？
はい。0以外の有理数の定数に対応しています。すべての係数をその定数で割り、余りは0になります。定数の除式の次数は0です。
余りが0なら除式は因数ですか？
はい。その場合、被除式＝除式×商となります。除式がx - cの場合、余りは被除式にx＝cを代入した値とも一致します。この剰余の定理で、その特別な場合を別の方法で検算できます。
組立除法ですか？
いいえ。対応するすべての除式に筆算の割り算を使い、2次以上の除式も扱います。組立除法の表や、方程式の根を探す機能はありません。
検算済みの恒等式は何を確認していますか？
被除式＝除式×商＋余りについて、すべての係数を正確な分数で照合しています。この恒等式はすべてのxで成立します。ただし被除式/除式という式は除式が0でない場所でのみ定義され、因数を約分しても元の制限はなくなりません。