Como usar
- Escolha centro e raio ou coeficientes expandidos.
- Insira A, B, C, D de x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0. Os três coeficientes quadráticos devem ser 1.
- Calcule e compare as duas formas com o centro e o raio no desenho.
Use a mesma unidade de comprimento em todas as coordenadas. Trocar o nome da unidade não converte os números. Notações como 1e-4 são aceitas, mas expressões algébricas não.
O desenho é atualizado assim que as entradas descrevem uma geometria válida. Se faltar um valor ou ele for inválido, o desenho fica oculto até os dados estarem prontos. Editar apaga o resultado numérico anterior e desativa a cópia. Clique em Calcular para confirmar os valores e copiá-los como texto. Limpar apaga os números e mantém as seleções.
Fórmula e interpretação
Todos os pontos da esfera estão à distância r do centro (h, k, l). Expandir os quadrados fornece os coeficientes lineares; completar quadrados recupera centro e raio. Equações em texto livre não são interpretadas.
(x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r². A = −2h, B = −2k, C = −2l; D = h² + k² + l² − r². r² = (A² + B² + C²)/4 − D.
Exemplo resolvido
Centro (1, −2, 3), raio 4: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. Forma expandida: x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0. A = −2, B = 4, C = −6, D = −2 recuperam os mesmos valores.
A = 0, B = 0, C = 0, D = −9 dão x² + y² + z² − 9 = 0. O centro é (0, 0, 0) e o raio 3. Trocar D por 1 exigiria r² = −1, sem raio real.
Usos e limites
Para conferir exercícios de completar quadrados, sem calcular volume ou área. Se os quadrados tiverem o mesmo coeficiente não nulo, divida antes toda a equação por ele. Coeficientes quadráticos diferentes descrevem outra superfície.
Os cálculos usam ponto flutuante. Resultados comuns mostram até duas casas decimais; valores pequenos não nulos usam notação científica. As equações mostram até 12 algarismos significativos e podem ser aproximadas. Entradas: zero ou valores absolutos de 10⁻⁹ a 10⁹; resultados limitados a 10¹⁵.
O desenho é uma projeção ortográfica ajustada à geometria. Nem todos os ângulos e comprimentos são preservados na tela. Os pequenos eixos indicam orientação, não a posição da origem. Consulte as coordenadas e medidas nos resultados.
Perguntas frequentes
O que significa raio zero?
A equação representa apenas o centro. Essa esfera degenerada é aceita e desenhada como um ponto.
E se r² for negativo?
Não existe esfera real. Isso é diferente de inserir diretamente um raio negativo, que é inválido.
Um centro grande pode esconder um raio pequeno?
Sim. Subtrair números grandes quase iguais pode perder precisão. Prefira centro e raio ou translade e redimensione as coordenadas.
Como usar os números copiados?
Cole em anotações ou exercícios para conferir o cálculo e mantenha a unidade e as entradas originais. Coordenadas arredondadas não substituem valores simbólicos exatos. Se o cálculo for rejeitado por precisão, translade ou mude a escala das coordenadas. Um resultado vazio não significa zero.